Sổ tay đại số cấp III

1. Phương pháp biến đổi đại số:

Phương pháp này sử dụng các phép biến đổi đại số (cộng, trừ, nhân, chia) để chứng minh một bất đẳng thức. Bằng cách biến đổi bất đẳng thức ban đầu thành một bất đẳng thức đơn giản hơn hoặc đã biết trước.

• Ví dụ: Chứng minh a2+b2≥2aba^2 + b^2 \geq 2aba2+b2≥2ab bằng cách viết lại thành (a−b)2≥0(a - b)^2 \geq 0(a−b)2≥0, điều này luôn đúng.

2. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức cổ điển:

Sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc và nổi tiếng trong toán học để chứng minh các bất đẳng thức phức tạp hơn. Một số bất đẳng thức nổi bật:

• Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.
• Bất đẳng thức AM-GM (Trung bình cộng - Trung bình nhân).
• Bất đẳng thức Jensen.

3. Phương pháp hàm số:

Sử dụng các tính chất của đạo hàm và đồ thị của hàm số để chứng minh bất đẳng thức. Thường là tìm cực đại, cực tiểu của hàm số để thấy rằng bất đẳng thức đúng với mọi giá trị.

• Ví dụ: Chứng minh ex≥1+xe^x \geq 1 + xex≥1+x bằng cách xét hàm số f(x)=ex−(1+x)f(x) = e^x - (1 + x)f(x)=ex−(1+x), sau đó tính đạo hàm để thấy rằng f(x)≥0f(x) \geq 0f(x)≥0 với mọi xxx.

4. Phương pháp phản chứng:

Phương pháp này giả sử bất đẳng thức không đúng, sau đó dùng lập luận để dẫn đến một mâu thuẫn với giả thiết ban đầu, từ đó kết luận bất đẳng thức đúng.

• Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức tam giác a+b>ca + b > ca+b>c bằng cách giả sử ngược lại, rồi tìm ra mâu thuẫn với các điều kiện hình học.

5. Phương pháp quy nạp:

Sử dụng nguyên lý quy nạp toán học, chứng minh bất đẳng thức đúng với một số nhỏ, sau đó chứng minh nó đúng với trường hợp tổng quát hơn dựa vào kết quả trước đó.

• Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức cho các dãy số hay biểu thức phụ thuộc vào nnn.

6. Phương pháp lượng giác hóa:

Sử dụng các tính chất và công thức lượng giác để chứng minh các bất đẳng thức phức tạp. Phương pháp này thường được áp dụng khi bất đẳng thức có liên quan đến các góc hoặc biểu thức hình học.

• Ví dụ: Chứng minh các bất đẳng thức liên quan đến hàm lượng giác như sin⁡\sinsin hay cos⁡\coscos.

7. Phương pháp hình học:

Dùng các công cụ hình học để chứng minh bất đẳng thức, thường áp dụng cho các bài toán hình học hoặc liên quan đến tam giác, đa giác.

• Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức giữa các cạnh và góc của tam giác, như bất đẳng thức tam giác AB+BC>ACAB + BC > ACAB+BC>AC.

8. Phương pháp cực trị:

Sử dụng các tính chất của bài toán cực trị để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức, từ đó suy ra bất đẳng thức.

• Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức bằng cách tìm giá trị nhỏ nhất của một hàm số dựa vào cực trị của nó.

Mỗi phương pháp có một lợi thế riêng, và trong nhiều bài toán, cần phải kết hợp nhiều phương pháp để tìm ra lời giải.